Question

已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f (x)＝x³－x²＋ax．
（Ⅰ） 当a＝2时，求f (x)的极小值；
（Ⅱ）若函数g(x)＝x³＋bx²－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同．
求证：g(x)的极大值小于等于．

Answer 1

解：(Ⅰ) 解: 当a＝2时，f ′(x)＝x²－3x＋2＝(x－1)(x－2)．        
列表如下：

所以，f (x)极小值为f (2)＝．
(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
g ′(x)＝3x²＋2bx－(2b＋4)＋＝．
令p(x)＝3x²＋(2b＋3)x－1，  
(1) 当 1＜a≤2时，f (x)的极小值点x＝a，
则g(x)的极小值点也为x＝a，
所以p(a)＝0，即3a²＋(2b＋3)a－1＝0，即b＝，
此时g(x)极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b＝－3＋ ＝．
由于1＜a≤2，故 ≤2－－＝
(2) 当0＜a＜1时，f (x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1，
由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x₂＜0＜x₁，所以0＜x₁＜1，
即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．
此时g(x)的极大值点x＝x₁，
有 g(x₁)＝x₁³＋bx₁²－(2b＋4)x₁＋lnx₁＜1＋bx₁²－(2b＋4)x₁
＝(x₁²－2x₁)b－4x₁＋1  (x₁²－2x₁＜0)＜－(x₁²－2x₁)－4x₁＋1
＝－x₁²＋x₁＋1＝－(x₁－)²＋1＋   (0＜x₁＜1)≤＜．
综上所述，g(x)的极大值小于等于．