Question

设函数f（x）=ax，g（x）=|x-a|，a∈R．
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞g（x）；
（2）记F（x）=f（x）-g（x），判断F（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设G（x）=f（x）g（x），且G（x）在[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，转化为2x＞|x-2|?-2x＜x-2＜2x，解不等式即可求出结论．
（2）先得到F（x）=ax-|x-a|，再分a=0和a≠0分别讨论得到其奇偶性即可；（注意用定义）
（3）先去绝对值符号得到函数解析式，再通过对a和0分情况讨论，结合分段函数单调性的求法即可得出结论．

解答：解：（1）2x＞|x-2|?-2x＜x-2＜2x，得解集为(

2

3

，+∞)…（4分）
（2）F（x）=ax-|x-a|，
当a=0时，F（x）=-|x|，F（-x）=-|-x|=-|x|，
所以F（x）=F（-x），F（x）为偶函数；…（6分）
当a≠0，F（a）=a²，F（-a）=-a²-2|a|
∴F（a）+F（-a）=-2|a|≠0
  F（a）-F（-a）=2a²+2|a|≠0
所以，F（x）为非奇非偶函数．  …（10分）
（3）G(x)=ax|x-a|=

a(x- a 2 )2- a3 4 x≥a -a(x- a 2 )2+ a3 4 x＜a

，…（12分）
①当a=0时，G（x）=0是常数函数，不合题意．
当a＞0时，G（x）在[a，+∞）和(-∞，

a

2

]上递增，所以a∈（0，1]．…（15分）
②当a＜0时，G（x）在[a，

a

2

]上递增，在[

a

2

，+∞)和（-∞，a]上递减，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是（0，1]…（18分）

点评：本题考查函数的奇偶性，单调性的判定以及分类讨论思想，是对函数知识的综合考查．在解第三问时，须注意和分段函数的单调性相结合．