Question

如下图，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．

(1)求证：EF与PC是异面直线；

(2)EF与PC所成的角；

(3)线段EF的长．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)用反证法．假设EF与PC共面于α，则直线PE、CF共面α，则A∈α，B∈α，于是P与A、B、C共面于α，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与PC是异面直线． 　　(2)取PB中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段PA、BC中点，有EGAB，GFPC∴∠GFE为异面直线EF与PC所成的角，∠EGF是异面直线PC与AB所成的角，∵PC⊥AB，∴EG⊥GF，即∠EGF＝90°．∵PC＝AB＝2，∴EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴∠GFE＝45°，即EF与PC所成的角是45°． 　　(3)由(2)知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴EF＝