题目内容
已知函数f（x）=
x3 -2ax2+bx其中a，b∈R，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为3．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极大值，求a的值．
| a2 | 3 |
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极大值，求a的值．
分析：（I）利用f′（0）=3即可解出；
（II）由函数f（x）在x=1处取得极大值，可得f′（1）=a2-4a+3=0，解得a=1或3．再分别讨论是否符合取得极大值的充分条件即可．
（II）由函数f（x）在x=1处取得极大值，可得f′（1）=a2-4a+3=0，解得a=1或3．再分别讨论是否符合取得极大值的充分条件即可．
解答：解：（I）f′（x）=a2x2-4ax+b，由题意可得f′（0）=b=3．
∴b=3．
（II）由函数f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=a2-4a+3=0，解得a=1或3．
①当a=1时，f′（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3）．列表如下：
由表格可知：函数f（x）在x=1处取得极大值，满足题意．
②同理可得：当a=3时，函数f（x）在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．
综上所述：当a=1时，函数f（x）在x=1处取得极大值．
∴b=3．
（II）由函数f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=a2-4a+3=0，解得a=1或3．
①当a=1时，f′（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3）．列表如下：
由表格可知：函数f（x）在x=1处取得极大值，满足题意．
②同理可得：当a=3时，函数f（x）在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．
综上所述：当a=1时，函数f（x）在x=1处取得极大值．
点评：熟练掌握导数的几何意义、利用导数研究函数的极值等是解题的关键．
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