Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c有极大值f（α）和极小值f（β）．
（1）求f（α）+f（β）的值；
（2）设曲线y=f（x）的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在y=f（x）上．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数令其=0则α、β为3x²+2ax+b=0的两根，利用根与系数的关系化简f（α）+f（β）得到即可；
（2）设出A与B两点坐标，求出中点坐标线段判断AB的中点是否在y=f（x）上即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于f（x）有极大值和极小值，
∴α、β为3x²+2ax+b=0的两根，则α+β=-

2a

3

，αβ=

b

3

，∴f(α)+f(β)=(α3+aα2+bα+c)+(β3+aβ2+bβ+c)
=（α³+β³）+a（α²+β²）+b（α+β）+2c
=[（α+β）³-3αβ（α+β）]+a[（α+β）²-2αβ]+b（α+β）+2c
=[(-

2a

3

)3-3•

b

3

•(-

2a

3

)]+a[(-

2a

3

)2-2•(

b

3

)]+b(

-2a

3

)+2c
=

4

27

a3-

2ab

3

+2c
（2）设A（α，f（α）），B（β，f（β），
由f(

α+β

2

)=(

α+β

2

)3+a•(

α+β

2

)3+b•

α+β

2

+c=(-

a

3

)3+a•(-

a

3

)2+b•(-

a

3

)+c
=

2

27

a3-

1

3

ab+c=

1

2

[f(α)+f(β)]
知AB的中点在y=f（x）上．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．