Question

已知函数f(x)=xm+

2

x

且f(4)=

9

2

．
（I）求m的值；
（II）判定f（x）的奇偶性；
（III）证明f（x）在[

2

，+∞)上是单调递增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于f（4）=

9

2

，故f（4）=4^m+

2

4

=

9

2

，从而可求得m；
（Ⅱ）利用奇偶函数的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用单调性的定义即可判断之．可设

2

≤x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）判断即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（4）=

9

2

，
∴f（4）=4^m+

2

4

=

9

2

，
∴4^m=4，m=1…4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x+

2

x

，
∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，…5
又f（-x）=-x-

2

x

=-（x+

2

x

）=-f（x），
∴f（x）是奇函数…8
（Ⅲ）设

2

≤x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

2

x1

-（x₂+

2

x2

）=（x₁-x₂）（1-

2

x1x2

）=（x₁-x₂）

(x1x2-2)

x1x2

…11
∵

2

≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞2，
∴

(x1x2-2)

x1x2

＞0，…13
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[

2

，+∞)上是单调递增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查对奇偶性与单调性概念的理解与应用，属于中档题．