Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：（n∈N*，且n＞1）。

Answer 1

解：（1）∵x＞1，，
1^o当k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；
2^o当k＞0时，f（x）在递减；
（2）当k≤0时，＞0（x＞1），
∴不可能恒成立。
当k＞0，由（1）可知。
由，
∴f（x）≤0恒成立时，k≥1。
（3）构造函数（x＞1），
＜0，
∴F（x）在（1，+∞）递减，
∴F（x）＜F（1），即，
∴；
当n＞1，n∈N*时，，
∴。