Question

已知函数f(x)=|log₂(x+1)|,实数m、n在其定义域内,且m＜n,f(m)=f(n).

求证:(1)m+n＞0;

(2)f(m²)＜f(m+n)＜f(n²).

Answer 1

(1)证法一:由f(m)=f(n),得|log₂(m+1)|=|log₂(n+1)|,即log₂(m+1)=±log₂(n+1),

     log₂(m+1)=log₂(n+1),                    ①

    或log₂(m+1)=log₂.                   ②

    由①得m+1=n+1,与m＜n矛盾，舍去.

    由②得m+1= ,

    即（m+1）(n+1)=1.                      ③

    ∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.

    由③得mn+m+n=0,m+n=-mn＞0.

    证法二:（同证法一得）(m+1)(n+1)=1.∵0＜m+1＜n+1,

    ∴＞=1.

    ∴m+n+2＞2.

    ∴m+n＞0.

(2)证明：当x＞0时，f(x)=|log₂(x+1)|=log₂(x+1)在(0,+∞)上为增函数.

由（1）知m²-(m+n)=m²+mn=m(m+n),且m＜0,m+n＞0,

    ∴m(m+n)＜0.

    ∴m²-(m+n)＜0,0＜m²＜m+n.

    ∴f(m²)＜f(m+n).

    同理,（m+n）-n²=-mn-n²=-n(m+n)＜0,

    ∴0＜m+n＜n².

    ∴f(m+n)＜f(n²).

∴f(m²)＜f(m+n)＜f(n²).