题目内容

设n=
∫
π
2
0
4cosxdx，则二项式(x-
1
x
)n的展开式的常数项是
6
6
．
分析：先由积分求出n，写出展开式的通项Tr+1=
C
r
4
x4-r(-
1
x
)r=（-1）rC4rx4-2r，要求常数项，只要令4-2r=0求出r即可
解答：解：∵n=
∫
π
2
0
4cosxdx=4sinx
|
π
2
0
=4
设第r项为常数项，则Tr+1=
C
r
4
x4-r(-
1
x
)r=（-1）rC4rx4-2r
令4-2r=0可得r=2∴T3=C42=6
故答案为：6
点评：本题主要考查了积分的计算，利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题
练习册系列答案
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在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足．
（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程．
（2）过点Q（一2，0）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点（-
4
17
，0），且以言
a
=(0，1)为方向向量的直线上一动点，满足
ON
=
OA
+
OB
（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线Z的方程；若不存在，说明理由．
设函数f（x）=x（
1
2
）x+
1
x+1
，A0为坐标原点，A为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）  的点，向量
an
=
n
k=1
Ak-1Ak
，向量
i
=（1，0），设θn为向量
an
与向量
i
的夹角，满足
n
k=1
tanθk＜
5
3
的最大整数n是（　　）
（2012•陕西）设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(
12
，1)内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．
设n∈N*，n＞1，用数学归纳法证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
．
已知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数．
（1）求第n个集合中各数之和Sn的表达式；
（2）设n是不小于2的正整数，f(n)=
n
i=1
1
3Si
，求证：n+
n-1
i=1
f(i)=nf(n)．

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