题目内容

已知函数 $数学公式$ ，a为常数
（1）若f（x）＞2的解集为（2，3），求a的值
（2）若f（x）＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范围．

解：（1）由解集为（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，
所以f（x）＞2即 $\text{[math]}$ 可化为a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，
由解集形式知：a-2＜0，所以x＜ $\text{[math]}$ ②，
由①②得2＜x＜ $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ =3，解得a=1，；
（2）f（x）＜x-3即 $\text{[math]}$ ＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，等价于a＜ $\text{[math]}$ 对任意的x∈（2，+∞）恒成立，
又 $\text{[math]}$ =（x-1）+ $\text{[math]}$ -3≥2 $\text{[math]}$ -3=2 $\text{[math]}$ -3，
当且仅当x= $\text{[math]}$ +1时取等号，
所以a＜2 $\text{[math]}$ -3；
分析：（1）由解集可知x＞2，从而对不等式进行化简，解出不等式后对比解集端点可得关于a的方程，解出即可；
（2）f（x）＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，可先分离出参数a后转化为求函数最值解决，对函数进行恰当变形，然后利用基本不等式可求最值；
点评：本题考查函数恒成立问题、根与系数的关系，考查转化思想，考查学生解决问题的能力，解决本题的关键是对问题进行合理转化，变为求函数最值问题．