Question

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F₁（0，-）和

F₂（0，）为焦点、离心率为32的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量=+.求：

（1）点M的轨迹方程；

（2）||的最小值.

Answer 1

解：(1)椭圆方程可写为+=1,式中a＞b＞0,且?

得a²=4,b²=1,所以曲线C的方程为x²+=1(x＞0,y＞0).?

y=2(0＜x＜1).?

y′=-.?

设P（x₀,y₀）,因P在C上，有0＜x₀＜1,y₀=2,y′|_x==-,得切线AB的方程为y=-(x-x₀)+y₀.?

设A（x,0)和B（0,y）,由切线方程得x=,y=.?

由=+得M的坐标为（x,y）,由x₀、y₀满足C的方程，得点M的轨迹方程为+=1(x＞1,y＞2).?

(2)∵||²=x²+y²,y²==4+.?

∴||²=x²-1++5≥4+5=9且当x²-1=即x=＞1时，上式取等号.?

故||的最小值为3.