Question

（本题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前项和，比较与 的大小.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   

解析:

（Ⅰ）解：由，解得，由假设，因此   又由，

      得 ，

      即  不成立，舍去。

      因此 是公差为3，首项为2的等差数列，故{a_n}的通项为

   （Ⅱ）证法一：由可解得 

从而 

因此   

令     ，则

因 

特别地. 从而，

即 

证法二：同证法一求得b_n及T_n。由二项式定理知. 当c>0时，不等式成立，

由此不等式有

证法三：同证法一求得b_n及T_n

令

从而 

 证法四：同证法一求得b_n及T_n下面用数学归纳法证明：

当n=1时，

因此结论成立，

假设结论当n=k时成立，即

则当n=k+1时，

因

从而这就是说，当n=k+1时结论也成立

综上成立.