Question

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
（Ⅰ）求证：A⊆B；
（Ⅱ）若f（x）=ax²-1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）是R上的单调递增函数，x₀是函数的稳定点，问x₀是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分A=∅和A≠∅的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明．
（Ⅱ）理解A=B时，它表示方程ax²-1=x与方程a（ax²-1）²-1=x有相同的实根，根据这个分析得出求出a的值．
（Ⅲ）用反证法证明x₀是函数的不动点．即讨论x₀＞f（x₀）和x₀＞f（x₀）的情况，并根据单调性推出其矛盾．

解答：解：（Ⅰ）若A=∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，
设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．（3分）
（Ⅱ）∵A≠∅，∴ax²-1=x有实根，
∴a≥-

1

4

．又A⊆B，所以a（ax²-1）²-1=x，
即a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0的左边有因式ax²-x-1，
从而有（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0．（6分）
∵A=B，
∴a²x²+ax-a+1=0要么没有实根，要么实根是方程ax²-x-1=0的根．若a²x²+ax-a+1=0没有实根，
则a＜

3

4

；若a²x²+ax-a+1=0有实根且实根是方程ax²-x-1=0的根，
则由方程ax²-x-1=0，得a²x²=ax+a，代入a²x²+ax-a+1=0，有2ax+1=0．
由此解得x=-

1

2a

，再代入得

1

4a

+

1

2a

-1=0，
由此a=

3

4

，故a的取值范围是[-

1

4

，

3

4

]．（10分）
（Ⅲ）由题意：x₀是函数的稳定点则f（f（x₀））=x₀，设f（x₀）＞x₀，f（x）是R上的单调增函数，
则f（f（x₀））＞f（x₀），
所以x₀＞f（x₀），矛盾．（12分）
若x₀＞f（x₀），f（x）是R上的单调增函数，则f（x₀）＞f（f（x₀）），
所以f（x₀）＞x₀，矛盾（15分）
故f（x₀）=x₀，
所以x₀是函数的不动点．（16分）

点评：本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．