Question

4．根据国家考试院的规定，各省自主命题逐步过渡到全国统一命题，2016年已经有25个省、直辖市参与全国统一命题．每年根据考试院出具两套试题，即全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ．已知各省选择全国高考新课标卷Ⅰ和全国新课标卷Ⅱ是等可能的，也是相互独立的．
（Ⅰ）在四川省选择全国新课标卷Ⅱ的条件下，求四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷 II的概率．
（Ⅱ）假设四川省在选择时排在第四位，用X表示四川省在选择选择全国新课标卷Ⅱ前，前三个省选择选择全国新课标卷Ⅱ的省的个数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）设四川省在内的三个省为A，B，S，四川省选择全国新课标卷 II表示为S₂，另两省选择全国新课标卷i表示为A_i，B_i（i=1，2），在四川省选择全国新课标卷 II的条件下，所有可能的有S₂A₁B₁，S₂A₂B₁，S₂A₁B₂，S₂A₂B₂四个基本事件，其中恰有两个省选择全国新课标卷 II有两个基本事件，利用条件概率计算公式即可得出；
（II）由题意，每个省选择全国高考新课标卷 I和全国新课标卷 II的概率都是$\frac{1}{2}$，四川省在选择选择全国新课标卷 II前，前三个省选择全国新课标卷 II的省份个数为X，则$X～B（3，\frac{1}{2}）$，即可得出分布列及其数学期望．

解答 解：（I）设四川省在内的三个省为A，B，S，四川省选择全国新课标卷 II表示为S₂，另两省选择全国新课标卷i表示为A_i，B_i（i=1，2），在四川省选择全国新课标卷 II的条件下，所有可能的有S₂A₁B₁，S₂A₂B₁，S₂A₁B₂，S₂A₂B₂四个基本事件，其中恰有两个省选择全国新课标卷 II有两个基本事件，设“四川省选择全国新课标卷 II的条件下，四川省在内的三个省中恰有两个省在2016年选择全国新课标卷 II”为事件M，∴$P（M）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$．
（II）由题意，每个省选择全国高考新课标卷 I和全国新课标卷 II的概率都是$\frac{1}{2}$，四川省在选择选择全国新课标卷 II前，前三个省选择全国新课标卷 II的省份个数为X，则$X～B（3，\frac{1}{2}）$，
∴X=0，1，2，3，$P（X=0）={（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，$P（X=1）=C_3^1{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{3}{8}$，$P（X=2）=C_3^2{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{3}{8}$，$P（X=3）=C_3^3{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴$EX=0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了条件概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．