题目内容

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）．
（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，
①对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，求证：k=f′（x0）；
②对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．
（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+
c
x
=
2ax2+bx+c
x
＞0(i)恒成立．
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=
f(x2)-f(x1)
x2- x1
=
a(x22-x12)+b(x2-x1)
x2-x1
=2ax0+b
由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
即k=f′（x0）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
g(x2)-g(x1)
x2-x1
=
f(x2)-f(x1)+cln
x2
x1
x2-x1

如果有①的性质，则g′（x0）=k
∴
cln
x2
x1
x2-x1
=
c
x0
，c≠0
即∴
ln
x2
x1
x2-x1
=
2
x1+x2
，
令t=
x2
x1
，t＞1，则
lnt
t-1
=
2
t+1

设s（t）=lnt-
2t-2
t+1
，则s′(t)=
1
t
-
2(t+1)-2(t-1)
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)2
＞0
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．
练习册系列答案
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．
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