Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且5tanB=

8ac

a2+c2-b2

．
（I） 求sin²

A+C

2

+cos2B的值；
（Ⅱ）若tanC=

6

12

，c=2，求b的值．

Answer 1

分析：（I）通过同角三角函数的基本关系式以及余弦定理化简5tanB=

8ac

a2+c2-b2

，利用二倍角公式求解sin²

A+C

2

+cos2B的值；
（Ⅱ）利用角的范围通过tanC=

6

12

，求出C的正弦函数，结合c=2，利用正弦定理求b的值．

解答：解：（I）5tanB=

8ac

a2+c2-b2

变式得：5

sinB

cosB

=4•

2ac

a2+c2-b2

…（2分）
由余弦定理，化简得5

sinB

cosB

=4•

1

cosB

，即sinB=

4

5

，
因为0＜B＜π，∴cosB=±

3

5

…（5分）
∵sin2

A+C

2

+cos2B=cos2

B

2

+cos2B=

1+cosB

2

+1-2sin2B=

11

50

+

1

2

cosB，
∴sin 2

A+C

2

+cos2B=

11

25

或-

2

25

…（8分）
（Ⅱ）∵tanC=

6

12

＞0，∴0＜C＜

π

2

∴sinC=

1

5

…（10分）
∵

b

sinB

=

c

sinC

，∴b=

csinB

sinC

=

2× 4 5

1 5

=8…（12分）

点评：本题考查正弦定理与余弦定理以及二倍角公式，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．