Question

【题目】设函数，数列满足，（，）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在以为首项，公比为（，）的数列，使得数列的每一项都是数列的不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，．

【解析】

试题分析：（1）由，得出，即可得到数列的通项公式；（2）当时，化简，当时，，得到的表达式，再由，得，即可求解实数的取值范围；（3）由（1）知，分别以分类讨论，即可得到结论．

试题解析：（1），∴，∴．

（2）当（）时，

；

当（）时，

，

则，，

，．

综上：（）．

，得，只需研究即可，

令，，则．

（3）由（1）知，

当时，则为常数列，不符合题意；

当时，除首项之外各项均为偶数，不存在；

当时，，，，；

当时，除首项之外各项均为偶数，不存在．