Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）利用点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上得S_n=3n²-2n，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求得数列{b_n}的通项，利用裂项法求和，即可求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答：解：（1）由点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上得S_n=3n²-2n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5；
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2×1=1=1，满足上式．
所以a_n=6n-5（n∈N^*）．
（2）由（1）得b_n=

3

anan+1

=

3

(6n-5)[6(n+1)-5]

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

[1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

]=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜

1

2

．
因此，使得T_n＜

m

20

（n∈N^*）成立的m必须且仅须满足

1

2

≤

m

20

，即m≥10，
故满足要求的最小整数m=10．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求数列的和是关键．