Question

已知函数f（x）=（x²-ax）e^x（a∈R）
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间．
（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围．
（3）函数f（x）可否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，由f（x）=（x²-2x）e^x，知f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，令f′（x）＜0，能求出函数f（x）的单调递减区间．
（2）f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x，由f（x）在（-1，1）上单调递减，知a≥

x2+2x

x+1

=x+1-

1

x+1

对一切x∈（-1，1）恒成立，令g(x)=x+1-

1

x+1

，g′(x)=1+

1

(x+1)2

＞0，
故g（x）在（-1，1）上是增函数，由此能求出a的取值范围．
（3）f′（x）=[x²+（2-a）x-a]e^x，设t=x²+（2-a）x-a，由△=（2-a）²+4a=a²+4＞0，知x∈R时，t不恒为正值，也不恒为负值，故f（x）在R上不可能单调．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，令f′（x）＜0即（x²-2）e^x＜0，
∴x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

，∴函数f（x）的单调递减区间是（-

2

，

2

）．
（2）f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x，
∵f（x）在（-1，1）上单调递减，∴x∈（-1，1）时，f′（x）≤0恒成立，
即x∈（-1，1）时，x²+（2-a）x-a≤0恒成立．即a≥

x2+2x

x+1

=x+1-

1

x+1

对一切x∈（-1，1）恒成立，令g(x)=x+1-

1

x+1

，g′(x)=1+

1

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（-1，1）上是增函数．∴g（x）≤1+1-

1

1+1

=

3

2

，a≥

3

2

，
即a的取值范围是[

3

2

，+∞）．
（3）∵f′（x）=[x²+（2-a）x-a]e^x，设t=x²+（2-a）x-a，
△=（2-a）²+4a=a²+4＞0，∴x∈R时，t不恒为正值，也不恒为负值．
即f′（x）的值不恒正，也不恒负，故f（x）在R上不可能单调．

点评：本题考查导数在函数单调性中的合理运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用导数的性质．