Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
（1）求角B的大小；
（2）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．

解答：解：（1）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知

cosB

cosC

=-

b

2a+c

得

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
∵B为三角形的内角，∴B=

2

3

π；
（II）将b=

13

，a+c=4，B=

2

3

π代入余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
b²=（a+c）²-2ac-2accosB，即13=16-2ac(1-

1

2

)，
∴ac=3，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

3

．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．利用正弦定理表示出a，b及c是第一问的突破点．