Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+1．若a为整数，且函数f（x）在（-2，-1）内恰有一个零点，求a的值．

Answer 1

分析：分别讨论a的取值，利用函数f（x）在（-2，-1）内恰有一个零点，建立条件关系即可求解．

解答：解：（1）a=0时，由f（x）=ax²-（a+2）x+1=-2x+1=0，得x=

1

2

，所以f（x）在（-2，-1）内没有零点；
（2）a≠0时，由f（x）=ax²-（a+2）x+1，△=（a+2）²-4a=a²+4＞0恒成立，
知f（x）=ax²-（a+2）x+1必有两个零点．        
若f（-2）=0，即4a+2（a+2）+1=0，解得a=-

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6

∉Z；
若f（-1）=0，即a+（a+2）+1=0，解得a=-

3

2

∉Z，
所以f（-2）f（-1）≠0．                       
又因为函数f（x）在（-2，-1）内恰有一个零点，
所以f（-2）f（-1）＜0，即（6a+5）（2a+3）＜0．
解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，
由a为整数，所以a=-1，
综上所述，所求整数a的值为-1．

点评：本题主要考查函数零点的判断和应用，注意对a进行讨论，利用根的存在性定理是解决函数零点的基本方法．