Question

（2012•昌平区一模）（坐标系与参数方程选做题） 若直线l：x-

3

y=0与曲线C：

x=a+ 2 cos? y= 2 sin?

（?为参数，a＞0）有两个公共点A，B，且|AB|=2，则实数a的值为

2

；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C的极坐标方程为

ρ²-4ρcosθ+2=0

．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系消去参数∅，化为普通方程为 （x-a）²+y²=2 ①，求出圆心C到直线的距离d，由弦长公式求得实数a的值；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入①化简可得
曲线C的极坐标方程．

解答：解：由曲线C：

x=a+ 2 cos? y= 2 sin?

（?为参数，a＞0），可得

2

cos∅=x-a，

2

sin∅=y，
平方相加可得 （x-a）²+y²=2 ①，表示以C（a，0）为圆心，以

2

为半径的圆，
圆心C到直线l：x-

3

y=0的距离等于d=

|a- 3 ×0|

1+3

=

a

2

，
再由弦长公式可得

|AB|

2

=1=

r2-d2

=

2- a2 4

，解得a=2．
①即 （x-2）²+y²=2 ②，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入②，化简可得 ρ²-4ρcosθ+2=0，
故答案为 2，ρ²-4ρcosθ+2=0．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式，把直角坐标方程化为极坐标方程，属于基础题．