Question

已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．且在x=1处取得极值；
（Ⅰ）求a的值；并求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）要使函数有意义，则x＞0．
函数的导数为f′(x)=-2x+a-

1

x

，因为函数在x=1处取得极值，所以f'（1）=-2+a-1=0，解得a=3．
所以f（x）=-x²+3x+1-lnx，f′(x)=-2x+3-

1

x

，
所以f（2）=-4+6+1-ln2=3-ln2，f′(2)=-4+3-

1

2

=-

3

2

，
所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-(3-ln2)=-

3

2

(x-2)，即y=-

3

2

x+6+ln2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2x2+3x-1

x

，
由f′(x)=

-2x2+3x-1

x

＞0，即2x²-3x+1＜0，解得

1

2

＜x＜1，
即函数的增区间为（

1

2

，1）．
由f′(x)=

-2x2+3x-1

x

＜0，得2x²-3x+1＞0，解得0＜x＜

1

2

或x＞1，
即函数的减区间为（0，

1

2

）和（1，+∞）．