Question

已知函数f(x)=

3

sin（ωx-

π

3

）-cos（ωx-

π

3

）（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（I）求f（

π

8

）的值；
（II）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）图象，求g（x）在区间[0，

π

2

]上的单调性．

Answer 1

分析：（I）利用两角差的正弦函数以及诱导公式化简函数的表达式，图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，求出函数的周期，求出ω然后，直接求f（

π

8

）的值；
（II）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）图象，求出函数的解析式．然后求出函数的单调区间，即可求g（x）在区间[0，

π

2

]上的单调性．

解答：解：（I）函数f(x)=

3

sin（ωx-

π

3

）-cos（ωx-

π

3

）
=2sin（ωx-

π

3

-

π

6

）=2sin（ωx-

π

2

）=-2cos（ωx）…（3分）
由条件两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
所以T=π，T=

2π

ω

，所以ω=2，∴f（x）=-2cos2x，f（

π

8

）=-

2

…（6分）
（II）函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）图象，
所以g（x）=-2cos（2x-

π

3

），
令2kπ-π≤2x-

π

3

≤2kπ，k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
又x∈[0，

π

2

]
所以g（x）在[0，

π

6

]上递减，在[

π

6

，

π

2

]上递增…（13分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数图象的平移，函数的单调性的应用，考查计算能力．