题目内容
已知数列{an}满足：a1=2，an+1=(1+
)n+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
+
+
+…+
＜1(n∈N*)．
| a |
n |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
| 1 |
| a1 |
| 3 |
| a2 |
| 5 |
| a3 |
| 2n-1 |
| an |
分析：（1）利用数列递推式，可得{an
}组成以2为首项，1为公差的等差数列，由此可得数列{an}的通项公式；
（2）利用放缩法进行证明，证明
＜
即可得到结论．
| 1 |
| n |
（2）利用放缩法进行证明，证明
| 1 |
| (n+1)n |
| 1 |
| n2 |
解答：（1）解：∵an+1=(1+
)n+1(n∈N*)，
∴an+1
=1+an
∴an+1
-an
=1
∵a1=2
∴{an
}组成以2为首项，1为公差的等差数列
∴an
=n+1，
∴an=（n+1）n；
（2）证明：当n=1时，
=
＜1，成立；当n=2时，
+
=
+
＜1，成立；
当n＞2时，（n+1）n＞（n+1）2＞n2，∴
＜
∴
+
+
+…+
＜
=1．
| a |
n |
∴an+1
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n |
∴an+1
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n |
∵a1=2
∴{an
| 1 |
| n |
∴an
| 1 |
| n |
∴an=（n+1）n；
（2）证明：当n=1时，
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a1 |
| 3 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
当n＞2时，（n+1）n＞（n+1）2＞n2，∴
| 1 |
| (n+1)n |
| 1 |
| n2 |
∴
| 1 |
| a1 |
| 3 |
| a2 |
| 5 |
| a3 |
| 2n-1 |
| an |
| 1+3+…+(2n-1) |
| n2 |
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．
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