Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线的斜率；
（II）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）当a=2时，f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx，
f′（x）=2x²-3+

1

x

，故f′（2）=

3

2

．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为

3

2

．
（2）f′（x）=ax²-（a+1）+

1

x

．
令f′（x）=0，解得x=1，或x=

1

a

．
因为a＞0，x＞0．
①当0＜a＜1时，
若x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
若x∈（1，

1

a

）时，f′（x）0，＜函数f（x）单调递减；
若x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当a=1时，
若x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
③当a＞1时，
若x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
若x∈（

1

a

，1）时，f′（x）0，＜函数f（x）单调递减；
若x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．