Question

已知函数f（x）=ln（x+2）-

x2

2a

，（a为常数且a≠0），若f（x）在x₀处取得极值，且x₀∉[e+2，e²+2]，而f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．a≥e⁴+2e²

B．a＞e⁴+2e²

C．．a≥e²+2e

D．a＞e²+2e

Answer 1

分析：先求导函数，求得极值点，确定函数的单调性，要使f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，只需

1+ a+1 ＞e2+2 f(e+2)≥0

或

e+2＞1+ a+1 f(e2+2)≥0

，由此可求a的取值范围．

解答：解：求导数可得f′(x)=

1

x+2

-

x

a

，令f′（x）=0，可得x₀=1±

a+1

∴函数在（-∞，1-

a+1

）上单调减，在（1-

a+1

，1+

a+1

）上单调增，在（1+

a+1

，+∞）上单调减
∵f（x）在x₀处取得极值，且x₀∉[e+2，e²+2]，
∴函数在区间[e+2，e²+2]上是单调函数
∴

1+ a+1 ＞e2+2 f(e+2)≥0

或

e+2＞1+ a+1 f(e2+2)≥0

∴a＞e⁴+2e²
∴a的取值范围是a＞e⁴+2e²，
故选B．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，属于中档题．