Question

已知侧棱垂直于底面的三棱柱CDE-C₁D₁E₁的顶点都在同一球面上，在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，该球的体积为

256π

3

，则三棱锥C₁-CDE的体积为（　　）

• A．5

  3

• B．10

  3

• C．30

  3

• D．20

  3

Answer 1

分析：根据球的体积求出半径R，再由余弦定理和△CDE中的数据求出DE，由正弦定理求出△CDE的外接圆的半径r，再由勾股定理求出CC₁，代入柱体的体积公式求解．

解答：解：设△CDE的外接圆的半径为r，球的半径为R，
∵球的体积为

256π

3

，
∴

256π

3

=

4πR2

3

，解得R=4，
∵在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，
∴DE²=CE²+CD²-2CE×CD×cos∠DCE
=16+25-2×4×5×cos60°=21，
则DE=

21

，
由正弦定理得，2r=

DE

sin∠DCE

=

21

sin60°

=2

7

，解得r=

7

，
∴CC₁=2

R2-r2

=6，
则三棱锥C₁-CDE的体积V=

1

3

×S△DCE×CC1
=

1

3

×

1

2

×4×5sin60°×6
=10

3

，
故选B．

点评：本题考查球的体积、棱柱的体积，余弦（正弦）定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．