Question

设函数f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+k（0＜ω＜π），将f（x）的图象按

a

=（

1

3

，-1）平移后得一奇函数，
（Ⅰ）求当x∈[0，2]时函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项公式为a_n=f（n）（n∈N⁺），S_n为其前N项的和，求S₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据将f（x）的图象按

a

=（

1

3

，-1）平移，可得到平移后的函数g(x)=2sin[ω(x-

1

3

)+

π

6

]+k-1，利用g（x）为奇函数，可得k=1，

π

6

-

ω

3

=kπ，结合0＜ω＜π，即可求得函数f（x）的解析式，进而整体思维，由x∈[0，2]，确定

π

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而可求当x∈[0，2]时函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）由a_n=f（n），可得a_n=2sin（

π

2

n+

π

6

）+1，数列的周期为4，根据S₂₀₁₀=502（a1+a2+a3+a4)+(a1+a2)=2009+

3

+a₁+a₂，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意，设函数f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+k（0＜ω＜π），将f（x）的图象按

a

=（

1

3

，-1）平移后，得到函数g（x），则g(x)=2sin[ω(x-

1

3

)+

π

6

]+k-1
∵g（x）为奇函数
∴所以k=1，

π

6

-

ω

3

=kπ，∴ω=

π

2

-

kπ

3

(k∈Z)
∵0＜ω＜π，∴ω=

π

2

∴f（x）=2sin（

π

2

x+

π

6

）+1┅┅┅┅┅（3分）
∵x∈[0，2]，∴

π

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴sin（

π

2

x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）∈[0，3]┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）∵a_n=f（n），∴a_n=2sin（

π

2

n+

π

6

）+1，T=4
∴a1=

3

+1， a2=0， a3=-

3

+1，a4=2┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）
∴S₂₀₁₀=502（a1+a2+a3+a4)+(a1+a2)=2009+

3

+a₁+a₂=2009+

3

┅┅┅（12分）

点评：本题以向量的平移为载体，考查数列与三角函数的结合，考查三角函数的性质，同时考查了三角函数的值域，综合性强．