Question

定义在R上的函数f（x）=|x²-2x|，则不等式f（x）≥1的解集为

(-∞，1-

2

]∪{1}∪[1+

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：根据绝对值的代数意义，分x²-2x大于等于0和小于0两种情况考虑：x²-2x大于等于0时，其绝对值等于它本身，得到f（x）的解析式，把f（x）的解析式代入不等式并求出一元二次不等式的解集；当x²-2x小于0时，根据负数的绝对值等于它的相反数，得到f（x）的解析式，把解析式代入不等式并求出不等式的解集，求出两种情况解集的并集即为原不等式的解集．

解答：解：当x²-2x≥0，即x（x-2）≥0，即x≥2或x≤0时，
f（x）=x²-2x，代入不等式得：
x²-2x≥1，即x²-2x-1≥0，
因式分解得：[x-（1-

2

）][x-（1+

2

）]≥0，
解得x≥1+

2

或x≤1-

2

，
则不等式的解集为（-∞，1-

2

]∪[1+

2

，+∞）；
当x²-2x＜0，即0＜x＜2时，f（x）=-x²+2x，
代入不等式得：-x²+2x≥1，即（x-1）²≤0，
解得x=1，
综上，原不等式的解集为：(-∞，1-

2

]∪{1}∪[1+

2

，+∞)．
故答案为：(-∞，1-

2

]∪{1}∪[1+

2

，+∞)．

点评：此题考查了绝对值不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．