Question

已知函数f（x）=

b-ax

x2+1

．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值2，求a，b的值；
（Ⅱ）当2b=a²-1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数f（x）在x=1处取得极值2，得到两个条件f（1）=2，f′（1）=0，利用两个条件解a，b的值
（Ⅱ）由2b=a²-1，代入进行消元，然后求导，讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调性．

解答：解：（Ⅰ）由于f(x)=

b-ax

x2+1

，则f′(x)=

-a(x2+1)-2x(b-ax)

(x2+1)2

=

ax2-2bx-ax

(x2+1)2

因为f（x）在x=1处有极值2，所以有

f′(1)=0 f(1)=2

，即

a-2b-a=0 b-a 2 =2

，
解得

a=-4 b=0

，经检验a=-4，b=0符合题意．
所以，当f（x）在x=1处有极值2时，a=-4，b=0．
（Ⅱ）因2b=a²-1，所以f′(x)=

ax2-(a2-1)x-ax

(x2+1)2

=

(ax+1)(x-a)

(x2+1)2

①当a=0时，f′(x)=

x

(x2+1)2

，令f′（x）=0，得x=0，
则当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
②当a≠0时，令f′（x）=0，得x=a，或x=-

1

a

i）当a＞0时，-

1

a

＜a，
则当x∈（-

1

a

，a）时，f′（x）＜0；当x∈(-∞，-

1

a

)或（a，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的增区间为(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），减区间为(-

1

a

，a)．
ii）当a＜0时，得-

1

a

＞a．
则当x∈（a，-

1

a

）时，f′（x）＞0；当x∈（-∞，a）或（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0．
所以f（x）的增区间为(a，-

1

a

)，减区间为（-∞，a），（-

1

a

，+∞）．
综上所述，当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
当a＞0时，f（x）的增区间为(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），减区间为(-

1

a

，a)．
当a＜0时，f（x）的增区间为(a，-

1

a

)，减区间为（-∞，a），（-

1

a

，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性问题．对应含有参数的导数，要对参数进行分类讨论．