Question

19.如图，ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.

 

（Ⅰ）求三棱锥D₁—DBC的体积；

（Ⅱ）证明BD₁∥平面C₁DE；

（Ⅲ）求面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值.

Answer 1

19.

（Ⅰ）解：=··2·2·1=.

 

（Ⅱ）证明：记D₁C与DC₁的交点为O，连结OE.

∵O是CD₁的中点，E是BC的中点，

∴EO∥BD₁.

∵BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE，

∴BD₁∥平面C₁DE.

 

（Ⅲ）解：过C作CH⊥DE于H，连结C₁H.

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，C₁C⊥平面ABCD，

∴C₁H⊥DE，

∴∠C₁HC是面C₁DE与面CDE所成二面角的平面角.

 

∵DC=2，CC₁=1，CE=1，

 

∴CH=，

 

∴tanC₁HC==.

 

即面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值为.