Question

（2011•盐城二模）已知函数f（x）=x+

1

x

+a²，g（x）=x³-a³+2a+1，若存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，则a的取值范围是

（1，4]

．

Answer 1

分析：存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，等价于存在x∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9，求出相应函数的最值，得到不等式，即可求出a的取值范围

解答：解：存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，等价于存在x∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9
∵函数f（x）=x+

1

x

+a²，ξ₁∈[

1

a

，a]（a＞1），∴f（x）=x+

1

x

+a²≥2+a²，即f（x）_min=2+a²；
∵g（x）=x³-a³+2a+1，∴g′（x）=3x²，∴函数g（x）在[

1

a

，a]（a＞1）上单调递增，
∴g（x）_max=g（a）=2a+1
∴|2+a²-2a-1|≤9
∴-3≤a-1≤3
∴-2≤a≤4
∵a＞1，∴1＜a≤4．
故答案为：（1，4]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，将存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，转化为存在x∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9是解题的关键．