Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x²=4y，直线l：y=-1．PA、PB为C的两切线，切点为A，B．
（Ⅰ）求证：“若P在l上，则PA⊥PB”是真命题；
（Ⅱ）写出（Ⅰ）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线方程设出A，B的坐标，把A，B点代入抛物线方程，对函数求导，进而分别表示出直线PA，PB的斜率，利用点斜式表示出两直线的方程，联立求得交点P的坐标，代入直线l的方程，即可证得结论；
（Ⅱ）根据PA⊥PB推断出

x1x2

4

=-1，进而P在l上，由此可得答案．

解答：（Ⅰ）证明：由x²=4y得y=

1

4

x2，对其求导得y′=

1

2

x．┅┅┅┅┅┅┅（2分）
设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，则直线PA，PB的斜率分别为kPA=

1

2

x1，kPB=

1

2

x2．
由点斜式得PA：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，∴y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

．①┅┅┅┅┅（4分）
PB：y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)，∴y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

．②，┅┅┅┅┅┅（5分）
由①②可得点P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，
因为P在l上，所以

x1x2

4

=-1，┅┅┅┅（7分）
所以kPA•kPB=

1

2

x1•

1

2

x2=

x1x2

4

=-1，所以PA⊥PB．┅┅┅┅┅┅（8分）
（Ⅱ）解：（Ⅰ）中命题的逆命题为：若PA⊥PB，则P在直线l上．为真命题．┅┅（10分）
事实上，由原命题可知，设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，
且PA：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，∴y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

．①
PB：y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)，∴y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

．②，
由①②可得点P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，┅┅┅┅┅┅┅（12分）
又PA⊥PB，所以kPA•kPB=

1

2

x1•

1

2

x2=

x1x2

4

=-1，
即y_p=-1，从而点P在l上．┅┅┅┅┅（14分）

点评：本题主要考查了抛物线的应用，考查命题及逆命题真假的判断，考查了学生推理能力和基础知识的综合运用．