Question

（2008•中山市模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，进而可得线面平行；
（2）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可．

解答：证明：（1）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD                              …（5分）
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA        …（8分）
又PA=PD=

2

2

AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD        …（10分）
∵CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，
∵PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PDC       …（12分）

点评：本题考查线面平行、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．