题目内容

若向量 $数学公式$ =（x，2x）与 $数学公式$ =（-3x，2）的夹角是钝角，则x的范围是________．

（-∞，- $\text{[math]}$ ）∪（- $\text{[math]}$ ，0）（ $\text{[math]}$ ，+∞）
分析：由题意可得 cosθ＜0 且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不共线，故有 2x≠2x•（-3x）， $\text{[math]}$ ＜0，即 x≠0，x≠- $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ =-3x²+4x＜0，由此求得x的范围．
解答：∵向量 $\text{[math]}$ =（x，2x）与 $\text{[math]}$ =（-3x，2）的夹角是钝角，设两个向量的夹角为θ，则有cosθ＜0 且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不共线，
∴2x≠2x•（-3x）， $\text{[math]}$ ＜0，即 x≠0，x≠- $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ =-3x²+4x＜0．
解得 x＜0，且 x≠- $\text{[math]}$ ，或 x＞ $\text{[math]}$ ，故x的范围是（-∞，- $\text{[math]}$ ）∪（- $\text{[math]}$ ，0）（ $\text{[math]}$ ，+∞），
故答案为（-∞，- $\text{[math]}$ ）∪（- $\text{[math]}$ ，0）（ $\text{[math]}$ ，+∞）．
点评：本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，两个向量共线的性质，易错误地认为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角是钝角? $\text{[math]}$ （应排除两个向量反向共线的情形），属于中档题．