Question

在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小；
（2）若2sin2

B

2

+2sin2

C

2

=1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

= 

1

2

，
∴cosA=

1

2

，
又A是三角形的内角，故A=

π

3

（2）∵2sin2

B

2

+2sin2

C

2

=1，
∴1-cosB+1-cosC=1∴cosB+cosC=1，
由（1）的结论知，A=

π

3

，故B+C=

2π

3

∴cosB+cos（

2π

3

-B）=1，
即cosB+cos

2π

3

cosB+sin

2π

3

sinB=1，
即

3

2

sinB+

1

2

cosB=1
∴sin（B+

π

6

）=1，
又0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜π
∴B+

π

6

=

π

2

∴B=

π

3

，C=

π

3

故△ABC是等边三角形．