Question

如图，过曲线C：y=e^x上一点P₀(0，1)作曲线C的切线l2交x轴于点Q₁(x₁，0)，又x轴的垂线交曲线C于点P₁(x₁，y₁)，然后再过P₁(x₁，y₁)作曲线C的切线l₁交x轴于点Q₂(x₂，0)，又过Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂ (x₂，y₂)，……，以此类推，过点P_n的切线l_n与x轴相交于点Q_n+1(x_n+1，0)，再过点Q_n+1作x轴的垂线交曲线C于点P_n+1(x_n+1，y_n+1)(n∈N*)，
(1)求x₁、x₂及数列{x_n}的通项公式；
(2)设曲线C与切线l_n及直线PQ所围成的图形面积为S_n，求S_n的表达式；
(3)在满足(2)的条件下，若数列{S_n}的前n项和为T_n，求证：。

Answer 1

(1)解：由y′=e^x，设直线l_n的斜率为k_n，则，
∴直线l_n的方程为y=x+1，
令y=0，得x₁=-1，，
∴，∴，
∴直线l₁的方程为，
令y=0，得x₂=-2，
一般地，直线l_n的方程为，
由于点在直线l_n上，∴，
∴数列{x_n}是首项为-1，公差为-1的等差数列，
∴。
(2)解：；
(3)证明：，
∴，，
要证明，
只要证明，
即只要证明，，

，
∴不等式对一切n∈N*都成立．