Question

已知函数f(x)=lnx-

a

x

，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递增区间；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求出a的值．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入f（x）的解析式，求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，写出区间形式，即得到f（x）在定义域上的单调递增区间．
（2）求出函数的导函数，求出导函数的根x=-a，通过讨论根-a与区间[1，e]的关系，分别判断出函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程，求出a的值．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=lnx-

1

x

，其定义域为（0，+∞）
f′(x)=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

令f'（x）＞0，得x＞-1，又x∈（0，+∞），
所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
（2）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，x∈（0，+∞）
①当a≥-1时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）_min=f（1）=-a，
由-a=

3

2

，得a=-

3

2

（舍去）；
②当a≤-e时，f'（x）≤0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递减，f(x)min=f(e)=1-

a

e

，
由1-

a

e

=

3

2

，得a=-

e

2

（舍去）；
③当-e＜a＜-1时，令f'（x）=0，得x₀=-a．
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0
∴f（x）在（-a，e）上为增函数．
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1，
由ln(-a)+1=

3

2

，得a=-

e

．
综上所述，a=-

e

．

点评：求函数的单调区间，只需令导函数大于0求出的区间为单调递增区间，令导函数小于0得到的区间为单调递减区间；解决含参数的函数的性质问题常需要对参数分类讨论．