Question

【题目】如图（1）五边形中，

,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果.

试题解析:（1）证明：取的中点，连接，则，

又，所以，则四边形为平行四边形，所以，

又平面，

∴平面，

∴.

由即及为的中点，可得为等边三角形，

∴，

又，∴，∴，

∴平面平面，

∴平面平面.

（2）解：

，∴为直线与所成的角，

由（1）可得，∴，∴，

设，则，

取的中点，连接，过作的平行线，

可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

∴，

所以，

设为平面的法向量，则，即，

取，则为平面的一个法向量，

∵，

则直线与平面所成角的正弦值为.

点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．