Question

在长方体OABC—O₁A₁B₁C₁中,|OA|=2,|AB|=3,|AA₁|=2,E是BC的中点.

(1)求直线AO₁与B₁E所成角的大小;

(2)作O₁D⊥AC于D,求点O₁到点D的距离.

Answer 1

解：(1)以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，如右图，建立空间直角坐标系.

因为|OA|=2,|AB|=3,|AA₁|=2,E是BC的中点,

所以A(2,0,0),O₁(0,0,2),B₁(2,3,2),E(1,3,0).

所以=(-2,0,2),=(-1,0,-2).

设与的夹角为θ,则

cosθ=.

所以θ=π-arccos,

即直线AO₁与B₁E所成的角为arccos.

(2)连结OD，

因为O₁D⊥AC，所以OD⊥AC.设D坐标为(x,y,0),

因为C(0,3,0),所以=（x,y,z-2）,=(-2,3,0),=(x-2,y,0).

由

得

或(舍去).

所以点D的坐标为（，，0），则=（，，-2）.

所以||=.