Question

（本小题满分13分）

对于定义域分别为的函数，规定：

函数

若函数,求函数的取值集合；

若，设为曲线在点处切线的斜率；而是等差数列，公差为1，点为直线与轴的交点，点的坐标为。求证：；

若，其中是常数，且，请问，是否存在一个定义域为的函数及一个的值，使得，若存在请写出一个的解析式及一个的值，若不存在请说明理由。

Answer 1

解（1）由函数

          可得

          从而

          当时，

         当时，

         所以的取值集合为     …………………………….5分

（2）易知所以

     所以

     显然点在直线上，且

     又是等差数列，公差为1

     所以

故，又

所以

所以

   

                ……………………………………………..8分

（3）由函数的定义域为，得的定义域为

     所以，对于任意,都有

     即对于任意,都有

     所以，我们考虑将分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化

    

         

     所以，令，且，即可    ………………………………..13分

    又

    所以，令，且，即可（答案不唯一）