题目内容

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，S为平面ABCD外一点，△SAD为正三角形， $数学公式$ ，M、N分别为SB、SC的中点．
（Ⅰ）求证：平面SAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-SB-C的余弦值；
（Ⅲ）求四棱锥M-ABN的体积．

（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连接SO，BO
因为△SAD为正三角形，所以SO⊥AD，且SO= $\text{[math]}$
又菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，所以 $\text{[math]}$
而SB= $\text{[math]}$ ，所以SB²=SO²+BO²，即SO⊥BO
因为BO∩AD=O
所以SO⊥平面ABCD，又SO⊆平面SAD
所以平面SAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：因为SA=AB=2，点M为SB的中点，所以AM⊥SB
由（Ⅰ）知BC⊥SO，又菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，所以BC⊥BO
因为SO∩BO=O
所以BC⊥面SOB
因为SB⊆面SOB
所以BC⊥SB
因为点N为SC的中点，所以MN∥BC，故MN⊥SB
所以∠AMN为二面角A-SB-C的平面角
又平面SOB⊥平面SBC，连接OM，则OM⊥SB，
所以OM⊥平面SBC
所以∠OMN=90°
在直角三角形AOM中，AO=1， $\text{[math]}$ ，所以AM= $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴二面角A-SB-C的余弦值 $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，MN⊥SB，因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
又OM⊥平面SBC，所以O点到平面BNM的距离为MO= $\text{[math]}$
因为AO∥BC，AO?平面SBC，所以AO∥平面SBC
所以A点到平面BNM的距离等于O点到平面BNM的距离MO= $\text{[math]}$
所以三棱锥M-ABN的体积为 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）证明平面SAD⊥平面ABCD，我们只要在一个平面内找出另一平面的垂线，取AD的中点O，连接SO，BO，即证SO⊥平面ABCD，从而只需证SO垂直于平面内的两条相交直线；
（Ⅱ）先证明AM⊥SB，MN⊥SB，所以∠AMN为二面角A-SB-C的平面角，再由OM⊥平面SBC，可得∠OMN=90°，从而可得 $\text{[math]}$ ，进而可求二面角A-SB-C的余弦值；
（Ⅲ）先求出 $\text{[math]}$ ，根据OM⊥平面SBC，可得O点到平面BNM的距离，再利用AO∥平面SBC，可得A点到平面BNM的距离等于O点到平面BNM的距离，从而可求三棱锥M-ABN的体积．
点评：本题以四棱锥为载体，考查面面垂直的判定，考查面面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是正确运用面面垂直的判定定理，寻找面面角，同时考查学生转化问题的能力．