Question

已知函数f （x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+2cos²x+1+a，x∈R是一个奇函数．
（1）求a的值和f （x）的值域；
（2）设w＞0，若y=f （wx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]的增函数，求w的取值范围；
（3）设|θ|＜

π

2

，若对x取一切实数，不等式4+f （x+θ）f （x-θ）＞2f （x）都成立，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：首先将函数化简（1）根据函数是奇函数求出a的值，然后有正弦函数求出值域；
（2）写出函数f （wx）的式子，然后根据正弦函数的单调性求出x的范围，进而根据区间[-

π

2

，

2π

3

]的增函数，求出w的取值范围；
（3）首先求出4+f （x+θ）f （x-θ）并化简和求出最小值

3

4

，再利用sin²θ＜

3

4

，求出结果．

解答：解：化简得f（x）=2sinx+a+3
（1）f（-x）=-f（x）?a=-3∴f（x）=2sinx
f（x）∈[-2，2]（4分）
（2）f（wx）=2sinwx（w＞0）
-

π

2

+2kπ≤wx≤2kπ+

π

2

k∈Z
-

π

2w

+

2kπ

w

≤x≤

kπ

w

+

π

2w

- π 2w ≤- π 2 2 3 π≤ π 2w

?0＜w≤

3

4

综上以上，0＜w≤

3

4

（8分）
（3）|θ|＜

π

2

，x∈R时
4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx
即sin²x-sinx+1＞sin²θ恒成立
（sin²x-sinx+1）_min=

3

4

∴sin²θ＜

3

4

-

3

2

＜sinθ＜

3

2

θ∈（-

π

2

，

π

2

）
∴θ∈（-

π

3

，

π

3

）（13分）

点评：本题考查了正弦函数的单调性和奇偶性以及不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题转化成求函数最值问题即可．属于中档题．