题目内容
已知数列{an}满足：a1=
，3an+1=an+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：bn=n（an-1），求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）求证：
+
+
+…+
＜
．
| 5 |
| 3 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：bn=n（an-1），求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）求证：
| 1 |
| 3•a1 |
| 1 |
| 32•a2 |
| 1 |
| 33•a3 |
| 1 |
| 3n•an |
| 1 |
| 2 |
分析：（1）由3an+1=an+2，变形为an+1-1=
(an-1)，可得数列{an-1}为等比数列，利用其通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用“放缩法”可得
=
＜
，再利用等比数列的前n项和公式即可证明．
| 1 |
| 3 |
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用“放缩法”可得
| 1 |
| 3n•an |
| 1 |
| 2+3n |
| 1 |
| 3n |
解答：解：（1）由3an+1=an+2，可得an+1-1=
(an-1)，又a1-1=
，
∴数列{an-1}为等比数列，
∴an-1=
•(
)n-1=
．
故an=
+1=
=1+2•(
)n．
（2）由（1）知bn=n(an-1)=2n•(
)n
∴Sn=2•
+4•(
)2+6•(
)3+…+2n•(
)n①
Sn=2•(
)2+4•(
)3+…+2(n-1)•(
)n+2n•(
)n+1②
由①-②得：
Sn=2•
+2•(
)2+2•(
)3+…+2(n-1)•(
)n-2n•(
)n+1
=1-
•(
)n
∴Sn=
-
•(
)n．
（3）∵
=
＜
，
∴
+
+
+…+
＜
+
+…+
=
=
[1-(
)n]＜
．
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴数列{an-1}为等比数列，
∴an-1=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3n |
故an=
| 2 |
| 3n |
| 2+3n |
| 3n |
| 1 |
| 3 |
（2）由（1）知bn=n(an-1)=2n•(
| 1 |
| 3 |
∴Sn=2•
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
由①-②得：
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=1-
| 2n+3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴Sn=
| 3 |
| 2 |
| 2n+3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
（3）∵
| 1 |
| 3n•an |
| 1 |
| 2+3n |
| 1 |
| 3n |
∴
| 1 |
| 3•a1 |
| 1 |
| 32•a2 |
| 1 |
| 33•a3 |
| 1 |
| 3n•an |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
| ||||
1-
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”、“放缩法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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