Question

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=

7

，且4cos2(

A+B

2

)+cos2C=

1

2

（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵cos

A+B

2

=cos（

π

2

-

C

2

）=-sin

C

2

，cos2C=2cos²C-1，
∴4cos²（

A+B

2

）+cos2C=4sin²

C

2

+cos2C=2（1-cosC）+2cos²C-1=

1

2

，
整理得：（2cosC-1）²=0，可得cosC=

1

2

，
又C为三角形的内角，
则C=

π

3

；
（Ⅱ）∵a+b=5，c=

7

，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=7=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=25-3ab，
∴ab=6，
又cosC=

1

2

，∴sinC=

1-cos2C

=

3

2

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．