Question

已知函数f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．
（1）若a=1，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围；
（2）若a≥2，b=1，求方程f(x)=

1

x

在（0，1]上解的个数．

Answer 1

分析：（1）先去掉绝对值转化为分段函数，每一段用导数法研究，因为是增函数，则导数大于等于零恒成立，最后每一段的结果取交集．
（2）先构造g（x）=|ax-2|+lnx-

1

x

，即g（x）=

-ax+2+lnx- 1 x ，(0＜x＜ 2 a ) ax-2+lnx- 1 x ，(x≥ 2 a ).

，每一段再用导数法研究．

解答：解：（1）f(x)=|x-2|+blnx=

-x+2+blnx，(0＜x＜2) x-2+blnx，(x≥2)

①当0＜x＜2时，f（x）=-x+2+blnx，f′（x）=-1+

b

x

．
由条件，得-1+

b

x

≥0恒成立，即b≥x恒成立．
∴b≥2
②当x≥2时，f（x）=x-2+blnx，f'（x）=1+

b

x

．
由条件，得1+

b

x

≥0恒成立，即b≥-x恒成立
∴b≥-2
∵f（x）的图象在（0，+∞）不间断，
综合①，②得b的取值范围是b≥2．
（2）令g(x)=|ax-2|+lnx-

1

x

，即g(x)=

-ax+2+lnx- 1 x ，(0＜x＜ 2 a ) ax-2+lnx- 1 x ，(x≥ 2 a ).

当0＜x＜

2

a

时，g(x)=-ax+2+lnx-

1

x

，g′(x)=-a+

1

x

+

1

x2

，
∵0＜x＜

2

a

，∴

1

x

＞

a

2

，则g′(x)＞-a+

a

2

+

a2

4

=

a(a-2)

4

≥0
即g'（x）＞0，∴g（x）在(0，

2

a

)上是单调增函数．
当x≥

2

a

时，g(x)=ax-2+lnx-

1

x

，g′(x)=a+

1

x

+

1

x2

＞0
∴g（x）在(

2

a

，+∞)上是单调增函数．
∵g（x）的图象在（0，+∞）上不间断，
∴g（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
∵g(

2

a

)=ln

2

a

-

a

2

，而a≥2，∴ln

2

a

≤0，则g(

2

a

)＜0．g（1）=|a-2|-1=a-3
①当a≥3时，
∵g（1）≥0
，∴g（x）=0在（0，1]上有惟一解．
即方程f(x)=

1

x

解的个数为1个．
②当2≤a＜3时，
∵g（1）＜0，
∴g（x）=0在（0，1]上无解．
即方程f(x)=

1

x

解的个数为0个．

点评：本题主要考查函数的单调性与最值，一般来讲，给出解析式的，解决的方法往往是基本函数法或导数法，抽象函数的单调性和最值，往往用单调性的定义解决．