Question

（选修4-2：矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值λ=4及对应的一个特征向量

ξ

=

.

1   1

.

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，1）变换成（-2，4）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求直线l：x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设矩阵M=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=4、对应的一个特征向量、矩阵M对应的变换将点（-1，1）换成（-2，4），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（Ⅱ）设出点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），根据变换前后写出关系式，整理出要求的直线l′的方程．

解答：解：（Ⅰ）设矩阵M=

a b c d

，
由题意得：

a b c d

 

1   1

=4

1   1

=

4   4

，即

a+b=4 c+d=4

，①
又由题意得：

a b c d

 

-1   1

=

-2   4

，即

-a+b=-2 -c+d=4

，②
联立①②，可解得，a=3，b=1，c=0，d=4，
故M=

3 1 0 4

．
（Ⅱ）设点（x，y）是直线l上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
∴

3 1 0 4

 

x   y

=

x′   y′

，即

3x+y=x′ 4y=y′

⇒

x= 1 3 x′- 1 12 y′ y= 1 4 y′

，
由题意得：点(

1

3

x′-

1

12

y′ ，

1

4

y′)在直线l上，
∴点(

1

3

x′-

1

12

y′ ，

1

4

y′)代入直线l的方程后，化简可得：x′-y′+3=，即x-y+3=0．
∴直线l：x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程为x-y+3=0．

点评：本题考查矩阵的特征向量和特征值的应用，本题的运算量较小，并且考查最基本的矩阵问题，在高考中若出现是一个送分题目．属于基础题．