Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12；数列{b_n}的前n项和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=

-2

an•log3 bn 2

，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＜

m-2010

2

对一切n∈N^*都成立，求最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出它的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由数列{b_n}的前n项和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1，当n=1时，解得b1=

2

3

．当n≥2时推导出bn=

1

2

(bn-1-bn)，由此能够证明{b_n}是公比的等比数列．
（3）由b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ，知C_n=

-2

an•log3 bn 2

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法得到T_n=1-

1

n+1

＜1．由T_n＜

m-2010

2

对一切n∈N^*都成立，知

m-2010

2

≥1．由此以能求出最小正整数m的值．

解答：（1）解：∵数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=12，
∴

a1+d=6 a1+4d=12

，解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）证明：∵数列{b_n}的前n项和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1，
∴当n=1时，S1+

1

2

b1=1，解得b1=

2

3

．
当n≥2时，∵S_n=1-

1

2

bn，S_n-1=1-

1

2

bn-1，
∴S_n-S_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，即bn=

1

2

(bn-1-bn)，
∴bn =

1

3

bn-1．
∴{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（3）解：由（2）知，b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ，
∴C_n=

-2

an•log3 bn 2

=

-2

(2n+2)log3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=1-

1

n+1

＜1．
∵T_n＜

m-2010

2

对一切n∈N^*都成立，
∴

m-2010

2

≥1．∴m≥2012，
∴最小正整数m的值为2012．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查最小正整数的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和裂项求和法的合理运用．