Question

已知数列{a_n}满足，则该数列的前10项的和为________．

Answer 1

77
分析：根据数列递推式，可得数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k，数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k，从而可求数列的前10项的和．
解答：因为a₁=1，a₂=2，所以a₃=（1+cos² ）a₁+sin² =a₁+1=2，a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos² ]a_2k-1+sin² =a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos² ）a_2k+sin² =2a_2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故答案为：77
点评：本题主要考查了数列的递推式，注意数列中的奇数项和偶数项的不同是解题的关键．